Linear/Logistic/Softmax Regression对比

Linear/Logistic/Softmax Regression是常见的机器学习模型，且都是广义线性模型的一种，有诸多相似点，详细对比之。

概述

Linear Regression是回归模型，Logistic Regression是二分类模型，Softmax Regression是多分类模型，但三者都属于广义线性「输入的线性组合」模型「GLM」。

其中Softmax Regression可以看做Logistic Regression在多类别上的拓展。

Softmax Regression (synonyms: Multinomial Logistic, Maximum Entropy Classifier, or just Multi-class Logistic Regression) is a generalization of logistic regression that we can use for multi-class classification (under the assumption that the classes are mutually exclusive).

符号约定

• 样本 $(x^{(i)}, y^{(i)})$
• 样本数 $m$
• 特征维度 $n$
• Linear Regression输出 $y^{(i)}$
• Logistic Regression类别 $y^{(i)}\in{0,1}$
• Softmax Regression类别 $y^{(i)}\in{1,\ldots,K}$
• Softmax Regression类别数 $K$
• 损失函数 $J(\theta)$
• Indicator函数 $I{boolean}$

模型参数对比

Linear Regression，维度为$(n \cdot 1)$的向量

$$\theta = \begin{bmatrix} \vert \\ \theta \\ \vert \end{bmatrix}$$

Logistic Regression，维度为$(n \cdot 1)$的向量

$$\theta = \begin{bmatrix} \vert \\ \theta \\ \vert \end{bmatrix}$$

Softmax Regression，维度为$(n \cdot K)$的矩阵

$$\theta = \begin{bmatrix} \vert & \vert & \vert & \vert \\ \theta^{(1)} & \theta^{(2)} & \dots & \theta^{(K)} \\ \vert & \vert & \vert & \vert \\ \end{bmatrix}$$

模型输出对比

Linear Regression输出样本的得分「标量」。

$$h_\theta(x) = \theta^Tx$$

Logistic Regression输出正样本的概率「标量」。

$$h_\theta(x) = P(y = 1 | x; \theta) = \frac{1}{1+\exp(-\theta^Tx)}$$

Softmax Regression输出为$K$个类别的概率「向量」。

$$h_\theta(x) = \begin{bmatrix} P(y = 1 | x; \theta) \\ P(y = 2 | x; \theta) \\ \vdots \\ P(y = K | x; \theta) \end{bmatrix} = \frac{1}{\sum_{k=1}^{K}{\exp(\theta^{(k)\top}x)}} \begin{bmatrix} \exp(\theta^{(1)T} x) \\ \exp(\theta^{(2)T} x) \\ \vdots \\ \exp(\theta^{(K)T} x) \\ \end{bmatrix}$$

损失函数对比

Linear Regression是回归问题，损失函数一般取平方误差；Logistic/Softmax Regression是分类问题，损失函数一般用交叉熵。

分类问题，对样本$(x, y)$，模型输出在类别上的概率分布，可统一表示为条件概率$P(y\vert x)$，可以直接写出交叉熵表达式，也可以通过极大似然法则导出，最终效果一样。

Linear Regression。

$$J(\theta) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)} - y^{(i)}))^2$$

Logistic Regression。条件概率可以表示为

$$\begin{align} P(y|x) &= \begin{cases} h_\theta(x), && y = 1 \\ 1 - h_\theta(x), && y = 0 \end{cases} \\ &= h_\theta(x)^y(1-h_\theta(x))^{(1-y)} \\ &= I\{y=1\}h_\theta(x) + I\{y=0\}(1-h_\theta(x)) \\ &= I\{y=1\}P(y=1\vert x;\theta) + I\{y=0\}P(y=0\vert x;\theta) \end{align}$$

对所有训练样本，损失函数为

$$\begin{align} J(\theta) &= - \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{1} I\left\{y^{(i)} = k\right\} \log P(y^{(i)} = k | x^{(i)} ; \theta) \right] \\ &= - \left[ \sum_{i=1}^m (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) + y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) \right] \end{align}$$

Softmax Regression。条件概率可以表示为

$$P(y|x) = I\{y=1\}P(y=1\vert x; \theta) + \dots + I\{y=K\}P(y=K\vert x; \theta)$$

对所有训练样本，损失函数为

$$\begin{align} J(\theta) &= - \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=1}^{K} I\left\{y^{(i)} = k\right\} logP(y^{(i)}=k|x^{(i)};\theta)\right] \\ &= - \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=1}^{K} I\left\{y^{(i)} = k\right\} \log \frac{\exp(\theta^{(k)\top} x^{(i)})}{\sum_{j=1}^K \exp(\theta^{(j)\top} x^{(i)})}\right] \end{align}$$

对比式子Logistic/Softmax Regression，二者的损失函数形式完全一致，就是交叉熵损失。真实概率分布$p$和预估概率分布$q$的交叉熵为

$$H(p,q) = - \sum_x p(x) \log q(x)$$

• 对Logistic Regression来说，真实概率分布为$[1, 0]$或$[0, 1]$
• 对Softmax Regression来说，真实概率分布为$[1,0,0]$、$[0,1,0]$或$[0,0,1]$

梯度对比

Linear/Logistic/Softmax Regression都是广义线性模型的一种，其形式都极其相似，包括梯度。

Linear Regression梯度

$$\nabla_\theta J(\theta) = \sum_{i=1}^m x^{(i)}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})$$

其中$h_\theta(x) = \theta^Tx$。

Logistic Regression梯度

$$\nabla_\theta J(\theta) = \sum_{i=1}^m x^{(i)}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})$$

其中$h_\theta(x) = \sigma(\theta^Tx)$。

Softmax Regression梯度

$$\nabla_{\theta^{(k)}} J(\theta) = \sum_{i=1}^m x^{(i)} [P(y^{(i)} = k | x^{(i)}; \theta) - I(y^{(i)} = k)]$$

其中预测结果见上文模型输出对比内容，方便表示，分别对$\theta^{k}$求导。

梯度形式非常的Intuitive，更新尺度正比于误差项！

The magnitude of the update is proportional to the error term $h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}$; thus, for instance, if we are encountering a training example on which our prediction nearly matches the actual value of $y^{(i)}$, then we find that there is little need to change the parameters; in contrast, a larger change to the parameters will be made if our prediction $h_\theta(x^{(i)})$ has a large error (i.e., if it is very far from $y^{(i)}$).